使用四探針法測量方塊電阻

方塊電阻（又稱表面電阻或表面電阻率）是表征導電和半導體材料薄膜的一種常見電學特性。它用于衡量通過材料薄方塊的橫向電阻，即方塊相對兩邊之間的電阻。方塊電阻相較于其他電阻測量的關鍵優(yōu)勢在于，它與方塊的尺寸無關，這使得不同樣品之間的比較變得簡單。

方塊電阻可通過四探針輕松測量，且在高效鈣鈦礦光電器件的制備中至關重要，這類器件需要低方塊電阻材料來提取電荷。

一、方塊電阻的應用

方塊電阻對于任何旨在讓電荷沿其表面（而非穿過）傳輸?shù)牟牧媳∧ざ?，都是一項關鍵特性。例如，薄膜器件（如鈣鈦礦太陽能電池或有機發(fā)光二極管）需要導電電極，這些電極的厚度通常在納米到微米范圍內(nèi)。電荷在發(fā)光二極管器件內(nèi)的移動過程中，電極必須橫向傳輸電荷，且需要低方塊電阻以減少傳輸過程中的損耗。當試圖擴大這些器件的尺寸時，這一點變得更為重要，因為電荷在被提取前需要在電極中傳輸更遠的距離。

顯示電流通過電極橫向流向活性材料。電極的方塊電阻會影響到達發(fā)光二極管的電流大小，進而影響其性能。

此外，若已知方塊電阻和材料厚度，還可計算出電阻率和電導率。這使得僅通過方塊電阻測量就能對材料進行電學表征。

二、四探針法測量方塊電阻

（一）基本原理

測量方塊電阻的主要技術是四探針法（又稱開爾文技術），該方法通過四探針儀實現(xiàn)。四探針儀由四個等間距、共線的電探針組成。

四個探針間距相等（s），與表面接觸。電流（I）通過探針1注入，通過探針4收集，同時在探針2和3之間測量電壓。

其工作原理是在外側(cè)兩個探針之間施加直流電流（I），并測量內(nèi)側(cè)兩個探針之間產(chǎn)生的電壓降。

（二）方塊電阻公式

方塊電阻可通過以下公式計算：

其中，Rs 方塊電阻，ΔV 為內(nèi)側(cè)探針之間測量的電壓變化，I為外側(cè)探針之間施加的電流。方塊電阻的測量單位通常為Ω/□（歐姆/方塊），以區(qū)別于體電阻。

需要注意的是，該公式僅在以下條件下有效：

1. 被測材料的厚度不超過探針間距的40%

2. 樣品的橫向尺寸足夠大

若不滿足上述條件，則需要引入幾何校正因子，以考慮樣品的尺寸、形狀和厚度的影響。校正因子的值取決于所使用的幾何結(jié)構。

若已知被測材料的厚度，可利用方塊電阻計算其電阻率：

其中， ρ 為電阻率， t 為材料厚度。

（三）消除接觸電阻

使用四探針法進行電學表征的主要優(yōu)勢之一是能夠消除測量中的接觸電阻和導線電阻。

顯示導線電阻 (RW)、接觸電阻(RC)和樣品電阻(RS)。箭頭表示電流流向。

施加的電流I通過外側(cè)探針進出樣品，并在樣品中流動。電壓表通常具有高阻抗，以避免影響被測電路，因此內(nèi)側(cè)兩個探針中無電流流過。僅測量內(nèi)側(cè)探針之間的電壓，這意味著導線電阻（RW2 和 RW3）和接觸電阻（RC2 和RC3）不會對測量產(chǎn)生影響。因此，測量到的電壓降（ΔV）由樣品電阻（RS2）引起。這簡化了方塊電阻公式，只需ΔV和施加的電流即可計算出 RS2（即方塊電阻）。

三、幾何校正因子

上述方塊電阻公式與樣品幾何形狀無關，但這僅適用于樣品尺寸顯著大于探針間距（通常尺寸為探針間距的40倍以上），且樣品厚度小于探針間距40%的情況。若不滿足這些條件，探針之間可能的電流路徑會因靠近樣品邊緣而受到限制，導致方塊電阻被高估。為解決這一問題，需要基于樣品幾何結(jié)構引入校正因子。

（一）圓形樣品

對于直徑為d的圓形樣品，在樣品中心測量時，校正因子可通過以下公式計算：

其中， s為探針間距。當d >> s 時，該公式的值趨近于1，此時可使用未校正的公式。

（二）矩形樣品

對于矩形樣品，幾何校正因子的確定稍復雜，沒有現(xiàn)成公式，需使用經(jīng)驗確定的校正因子表。該表中的值僅適用于探針在樣品中心接觸，且與樣品最長邊（l）平行對齊的情況。

l ≥ w

例如，假設上圖中的矩形樣品長邊l=20mm，短邊w=10mm，所使用探針的間距S=2mm。此時，l/w=2，w/s=5，在表中查找滿足這兩個值的校正因子，即l/w=2列和w/s=5行對應的校正因子C=0.7887。將測量得到的方塊電阻乘以該值，即可得到樣品的正確方塊電阻。

并非所有樣品都能符合這些類別。若遇到這種情況，建議使用三次樣條插值法估算樣品的合適校正因子。

需要注意的是，上述圓形和矩形樣品的校正因子僅適用于在樣品中心進行的測量。若測量不在中心位置，則需要使用不同的校正因子。

（三）其他形狀和探針位置

對于不同形狀的樣品以及非中心位置的測量，需要使用其他校正因子。

若樣品形狀不規(guī)則，可考慮其更接近矩形還是圓形，然后估算該形狀能容納的樣品尺寸。

（四）厚樣品

若被測樣品的厚度大于探針間距的40%，則需要額外的校正因子。所使用的校正因子取決于樣品厚度（t）與探針間距（s）的比值，部分可能的值如下表所示：

與矩形樣品一樣，若t/s不等于表中給出的值，建議使用三次樣條插值法估算樣品的合適校正因子。

四、探針公式推導

為確定如何使用四探針測量薄膜的方塊電阻，需先評估一個簡化場景。假設有一個極尖的探針與導電材料的半無限體積（除朝向探針的方向外，所有方向均無限延伸）接觸并注入電流（通過施加電壓）。

綠色半球是半徑為r的注入電流殼層

電流從接觸點向外流過同心半球形等勢殼層，每個殼層的電流密度（J）為：

其中，r為到探針的徑向距離（2πr2 為半球的表面積）。應用歐姆定律（E = ρJ），其中每個殼層的電場等于殼層厚度上的電壓降，即-ΔV / Δr （該術語為負，因為電壓隨r增大而減小），且殼層厚度趨近于零，得到以下方程：

對r到r'積分可得：

應用當r趨近于無窮大時V趨近于零的邊界條件，方程簡化為：

現(xiàn)在假設有四個極尖的探針（標記為1至4）與半無限導電材料接觸，它們共線且間距相等（s）。設置為通過探針1注入電流，由探針4收集電流。若假設每個探針具有等效邊界條件，則任意點的電壓等于每個探針單獨產(chǎn)生的電壓之和，即：

其中，r1和r4分別是到探針1和探針4的徑向距離。在探針2和3之間測量電壓。使用上述方程，探針2和3處的電壓分別為：

因此，探針2和3之間的電壓變化（ΔV）為：

因此，探針之間的電阻率為：

該表達式僅適用于半無限體積的情況，不適用于薄膜。但可通過類似分析推導新的表達式。同樣，假設有一個極尖的探針與厚度為t的材料薄膜接觸并注入電流。

綠色圓柱是半徑為r的注入電流殼層

在這種情況下，電流從探針（通過材料）流過短圓柱形等勢殼層，每個殼層的電流密度為：

應用與之前相同的電場條件（歐姆定律和殼層厚度趨近于零），每個殼層的電場為：

已知電阻率定義為方塊電阻乘以材料厚度，因此可代入上式得到：

對r和r'積分可得：

與之前不同，不能假設當r趨近于無窮大時電壓趨近于零，因為無窮大的自然對數(shù)不為零。但這并不影響分析，因為四探針測量的是不同點之間的電壓差(ΔV) 。

現(xiàn)在考慮與薄膜接觸的四探針系統(tǒng)，附加條件是薄膜厚度（t）遠小于探針間距（s）。對于由探針1注入電流并由探針4收集電流的情況，方程變?yōu)椋?/span>

在探針2和3處測量的電壓因此為：

因此，電壓變化為：

整理可得：

因此，通過測量內(nèi)側(cè)探針之間的電壓變化和外側(cè)探針之間施加的電流，可測量樣品的方塊電阻。

五、       快速準確的方塊電阻測量

Ossila四探針儀使薄膜的方塊電阻、電阻率和電導率測量變得快速簡便。

- 可在100mΩ/□至10MΩ/□的廣泛范圍內(nèi)測量方塊電阻，實現(xiàn)對各種材料的精確表征。

- 通過平衡正負電流以消除電壓偏移來計算平均方塊電阻，顯著提高測量精度。

- 可表征直徑達6英寸（152.4mm）的大樣品。大樣品對校正因子的依賴性更小，測量更準確。

- 通過PC使用免費且直觀的Ossila方塊電阻精簡軟件實現(xiàn)無縫控制。

- 為增加多功能性，可選擇Plus型號，其內(nèi)置軟件和顯示屏，無需PC即可表征樣品。